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5.1. CÁLCULO DE ÁREAS 591

Con este propósito dividimos el intervalo [α, β] en subintervalos [θi−1, θi] de modo
que :

α = θ0 ≤ θ1 ≤ · · · ≤ θn = β.
En cada subintervalo, elegimos un punto cualquiera ξi ∈ [θi−1, θi] y formamos la suma

de Riemann que representa la suma de las áreas de los sectores circulares de ángulos θi−1
y θi y radio f(ξi):

β

α

O

(x(θ), y(θ))

De acuerdo a lo señalado tenemos que la suma S de las áreas de los sectores circulares
de ángulos θi − θi−1 y radios f(ξi) es:

S =
n∑

i=1

1

2
[f(ξi)]

2 · (θi − θi−1) .

En este caso lo que hemos hecho es aproximar el área que nos interesa calcular con la de
los sectores circulares de radio constante. Para obtener el área exacta debemos afinar la
partición haciendo tender n→ +∞ . Aśı, obtenemos que el área está dada por la respectiva
integral.

Area =

∫ β

α

1

2
(f(θ))2dθ.

Ejemplo 5.1.6 Encuentre el área acotada por la curva r = 2 +cos θ y los ángulos θ = 0
y θ = π/2.

Solución: De acuerdo a lo visto en el caṕıtulo 2, sección ??, la curva representada por
la ecuación es una cardioide. El área pedida corresponde a la zona marcada en la figura.

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