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Chapitre 7 : Rappels de mécanique des milieux continus

d = (v' – v ) / v = tr(ε) = 3 εm (7.34)

Un milieu continu est dit incompressible quand sa déformation ne s'accompagne
d'aucun changement de volume.

7.7.4 Tenseur de déformation infinitésimale en coordonnées cylindriques
Il s'exprime par


r
u

rr ∂
∂=ε )vu(r

1
θ∂
∂+=εθθ z

w
zz ∂

∂=ε

)]vu(
r
1

r
v[

2
1

r −θ∂
∂+


∂=εθ )z

u
r
w(

2
1

zr ∂
∂+


∂=ε (7.35)

)
z
vw

r
1(

2
1

z ∂
∂+

θ∂
∂=εθ



7.8 Relation contrainte-déformation

7.8.1 Position du problème de mécanique des solides
Soit un solide de volume V, de frontière Γ, soumis à un ensemble de forces
surfaciques T et volumique Fv (Fig. 7.1). Sur la portion Γu de la surface extérieure, le
champ de déplacement est imposé. Dans la configuration déformée du solide, il
apparaît un champ de déplacement u et un champ de contrainte σ qu'il s'agit de
déterminer en tout point du solide.

7.8.2 Bilan des équations et des inconnues
Dans les sections précédentes, nous avons établi en chaque point :

3 équations d'équilibre (1)
6 équations déformations-déplacement (2)
3 équations de compatibilité (3)

D'autre part, les inconnues du problème sont:

3 composantes de déplacement
6 composantes de déformation
6 composantes de contrainte

Le bilan ci-dessus montre qu'au moins, trois équations supplémentaires sont
nécessaires. Il existe en réalité des équations additionnelles dites lois constitutives ou
lois de comportement qui sont

6 relations contraintes – déformations (4)

Ces équations représentent la réponse du solide aux sollicitations. Une réponse qui
dépend étroitement du matériau constituant le solide. Finalement, on dispose en
chaque point du solide, 18 équations et 15 inconnues. Ainsi, théoriquement, le
problème de mécanique des solides dispose d'une solution.

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Eléments de Mécanique des Sols


7.8.3 Résolution

Lorsqu'on adopte les contraintes σ et les déformations ε autant qu'inconnues
(au nombre de 12), on utilise les équations (1), (3) et (4). Les déplacements u seront
calculés à posteriori. Si on prend pour inconnue σ, ε et u, on utilise les équations (1),
(2) et (4). Les équations (3) deviennent inutiles. Autrement, il existe une deuxième
alternative à cette formulation mixte. Elle consiste à décrire le problème avec un seul
type d'inconnues cinématiques ε et u ou statiques σ. Lorsque nous exprimons le
problème en contraintes, nous obtenons les équations de Beltrami-Michel:


0F1
1FF)1( ijl,li,jj,iij,llij =δν−

ν+ν+++σ+σ∆ν+ (7.36)


Lorsque nous exprimons les équations en déplacement, on abouti aux équations de
Navier ou équations de Lamé:


(λ+µ) grad (div u) + µ ∆u + F = 0 (7.37)


7.8.4 Lois constitutives
Comme il a été dit ci-dessus, ce sont les relations entre contrainte ( au sens
généralisées : contrainte, taux de contrainte, incrément de contrainte,…) et
déformations (au sens généralisées : déformation, taux de déformation, incrément,…).
Elles sont de la forme:


σij = f(εkl) (7.38)

dont la loi inverse s'écrit


εij = f(σkl) (7.39)

Lorsque les fonctions f et g sont linéaires, il viendra:


σij = Cijkl εkl (7.40)

ou bien


εij = Dijkl σkl (7.41)

7.8.5 Elasticité linéaire
Dans ce cas les déplacements sont des mouvements relatifs entre les atomes. Les
déformations sont alors réversibles. La plupart des matériaux sont élastiques aux
températures ordinaires lorsque les sollicitations ne sont pas trop élevées. La relation
de comportement est la célèbre loi de Hook. Il s'agit d'une dépendance linéaire entre
les contraintes et les déformations. Lorsque la déformation est instantanément
réversible, le solide est dit parfaitement élastique.

7.8.5.1 A une dimension
Elle est donnée par la relation simple:


σ = E ε et ε = σ / E (7.42)

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Références bibliographiques



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