Download Matematicka analiza 3 PDF

TitleMatematicka analiza 3
File Size206.0 KB
Total Pages22
Table of Contents
                            Ortogonalni sustavi
	Fourierov red
		Periodicke funkcije
		Trigonometrijski Fourierov red
		Fourierov red parnih i neparnih funkcija
		Spektar periodicke funkcije. Parsevalova jednakost.
		$^{*}$Kompleksni zapis Fourierovog reda
	Ortogonalni sustavi
		Fourierov red po ortogonalnom sustavu
		Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije
		Legendreovi polinomi
		Cebisevljevi polinomi
Integralne transformacije
	Fourierov integral
		Sinus integralni
		$^{*}$Kompleksni zapis Fourierovog integrala
	Laplaceova transformacija
		Osnovna svojstva
		Transformacije nekih funkcija
		Diracova $elta $ funkcija
		Laplaceova transformacija periodicke funkcije
		Trazenje originala. $^{*}$Mellinov integral.
		Primjene Laplaceove transformacije
Diferencijalne jednadzbe
	Linearne diferencijalne jednadzbe
		Homogena LDJ
		Homogena LDJ s konstantnim koeficijentima
		Nehomogena LDJ s konstantnim koeficijentima
			Metoda neodrenhbox [email protected] box group etbox 0=box {d}imen 0=t 0 dvance imen 0 by 1ex imen 0=.45imen 0 imen 20.0imen 0 dvance imen 2 by .5ex 
ormalhbox to 0pt{
aise imen 0box {ern imen 2box {rule height0.1exwidth0.3em}}
ormalhss }ox 0 group {}enih koeficijenata
			Metoda varijacije konstanti (Lagrangeova metoda)
		Svonhbox [email protected] box group etbox 0=box {d}imen 0=t 0 dvance imen 0 by 1ex imen 0=.45imen 0 imen 20.0imen 0 dvance imen 2 by .5ex 
ormalhbox to 0pt{
aise imen 0box {ern imen 2box {rule height0.1exwidth0.3em}}
ormalhss }ox 0 group {}enje na LDJ s konstantnim koeficijentima
			Eulerova diferencijalna jednadzba
		*Rjesavanje pomocu redova
                        
Document Text Contents
Page 1

Matematička analiza III

c
2000 Željko Vrba

Page 11

http://fly.srk.fer.hr/~mordor/mat3.pdf

9

2 Integralne transformacije

2.1 Fourierov integral

Neka je f : R→ R apsolutno integrabilna, tj.
∫∞
−∞ |f(x)|dx <∞. Tada postoje integrali

A(λ) :=
1
π

∫ ∞
−∞

f(ξ) cos(λξ)dξ

B(λ) :=
1
π

∫ ∞
−∞

f(ξ) sin(λξ)dξ

Funkcije A(λ) i B(λ) nazivaju je kosinusni, odn. sinusni spektar od f . Funkcija

F (x) :=
∫ ∞

0

(A(λ) cosλx+B(λ) sinλx)dλ

naziva se Fourierov integral funkcije f . Ako funkcija zadovoljava na svakom zatvorenom intervalu
Dirichletove uvjete, tada se ona može prikazati pomoću Fourierovog integrala i vrijedi:

F (x) =
{
f(x) f neprekinuta u x
1
2
(f(x+ 0) + f(x− 0)) f prekinuta u x

Kažemo da smo funkciju f razvili u harmonička titranja čije su frekvencije proizvoljni realni bro-
jevi 0 < λ < ∞. Kosinusni i sinusni spektar zajedno odreduju amplitudni spektar : am(λ) :=√
A(λ)2 +B(λ)2. Ako je funkcija f parna, tada je B(λ) ≡ 0; ako je neparna vrijedi A(λ) ≡ 0.

Fourierov integral se može zapisati na kraći način:

F (x) =
1
π

∫ ∞
0



∫ ∞
−∞

f(ξ) cosλ(x− ξ)dξ

2.1.1 Sinus integralni

Definiramo funkciju sinus integralni :

Si(x) :=
∫ ∞

0

sin(u)
u

du

sa svojstvima:

1. neparnost; −Si(x) = Si(−x)

2. apscise maksimuma su xmax = (2n + 1)π (n ≥ 0); apscise mini-
muma su xmin = 2nπ (n ≥ 1)

3. limx→∞ Si(x) = π2

Graf je prikazan na slici desno.

-20 -10 10 20

-1.5
-1

-0.5

0.5
1

1.5

Slika 2.1 Sinus integral-
ni

2.1.2 ∗Kompleksni zapis Fourierovog integrala

Nakon kraćeg računa dolazi se do slijedećeg zapisa Fourierovog integrala u kompleksnom obliku:

Page 12

http://fly.srk.fer.hr/~mordor/mat3.pdf

10

f(x) =
∫ ∞
−∞

F (λ)eiλxdλ

F je spektralna funkcija od f koja se računa prema formuli:

F (λ) =
1



∫ ∞
−∞

f(ξ)e−iλξdξ

2.2 Laplaceova transformacija

Definicija 2.1 Original je svaka funkcija f(t) realne varijable t koja zadovoljava uvjete:

1. f(t) ≡ 0 za t < 0

2. za t ≥ 0 funkcija f(t) na bilo kojem konačnom dijelu osi t može imati najvǐse konačno prekida
i to samo prve vrste

3. za t→∞ funkcija f(t) ima ograničen stupanj rasta,tj. postoje konstante M > 0 i a ≥ 0 takve
da je |f(t)| ≤Meat ∀t ≥ 0 tj. f(t) je eksponencijalnog rasta.

Definicija 2.2 Infimum a0 ≥ 0 svih vrijednosti a ≥ 0 za koje vrijedi f(t) ≤ Meat naziva se
eksponent rasta funkcije f(t).

Definicija 2.3 Step funkcija definirana je kao:

S(t) :=
{ 0 t < 0

1 t ≥ 0

Neka funkcija f(t) definirana za −∞ < t < ∞ zadovoljava uvjete 2. i 3. iz definicije originala, ali
f(t) 6= 0 za t < 0. Tada je funkcija f(t)S(t) original.

Napomena 1: Uvijek tražimo Laplaceovu transformaciju funkcije f(t)S(t), ali radi kratkoće
pisanja ne pǐsemo S(t).

Napomena 2: U Laplaceovoj transformaciji dopuštamo da f(t) bude kompleksna funckija realne
varijable, tj. oblika f(t) = f1(t) + if2(t) pri čemu su f1 i f2 realne funkcije za koje pretpostavljamo
da su originali.

Definicija 2.4 Neka je f : R→ C. Laplaceova transformacija je funkcija

F (p) :=
∫ ∞

0

e−ptf(t)dt

(p ∈ C, t ∈ R) kompleksne vraijable p, koja postoji tamo gdje ovaj nepravi integral konvergira.

Oznake: Laplaceovu transformaciju označavamo sa: f(t) . F (p), a inverznu Laplaceovu transfor-
maciju sa F (p) / f(t).

Teorem 2.1 Integral
∫∞

0
e−ptf(t)dt apsolutno konvergira u području Re(p) > a0, a0 je eks-

ponent rasta funkcije f .

Teorem 2.2 Laplaceova transformacija F (p) originala f(t) je analitička funkcija kompleksne
varijable p u području Re(p) > a0.

Page 21

http://fly.srk.fer.hr/~mordor/mat3.pdf

19

ak+2 = −
ak
k + 2

k ≥ 0

Dobijemo slijedeće jednakosti za koeficijente:

a2 = −
a0
2

a3 = −
a1
3

a4 = −
a2
4

=
a0

2 · 4
a5 = −

a3
5

=
a1

3 · 5

(na a0 i a1 nema nikakvih uvjeta: oni su odredeni početnim uvjetima). Tako konačno rješenje
možemo napisati u obliku:

y = a0y1(x) + a1y2(x)

= a0(1−
x2

2
+

x4

2 · 4


x6

2 · 4 · 6
+ . . .) + a1(x−

x3

3
+

x5

3 · 5


x7

3 · 5 · 7
+ . . .)

Za slijedeći primjer uzmimo Besselovu diferencijalnu jednadžbu:

x2y′′ + xy′ + (x2 − ν2)y = 0 (ν ∈ R)

a rješenje želimo u okolini x0 = 0. Budući da jednadžba ne zadovoljava uvjete teorema 3.2
(p(x) = x2; p(x0) = 0) rješenje nije red potencija već poopćeni red potencija:

y = xs
∞∑
k=0

akx
k

Similer Documents