Download Matematika1 Ispiti Fesbmislav (2) PDF

TitleMatematika1 Ispiti Fesbmislav (2)
File Size1.1 MB
Total Pages32
Document Text Contents
Page 1

130, grupa 2, 140 Završni ispit iz MATEMATIKE 1, 13. veljače 2012.

Ime i prezime: Dio: 1. 2. 3.
(zaokružite dio gradiva koji odgovarate)

1. dio 2. dio 3. dio
1 2 3 Σ 1 2 3 Σ 1 2 3 Σ

1. dio

1. (6 bodova) Odrediti kompleksne brojeve z za koje vrijedi: |z+zi| = 2


2, Re(z3) = 4


3
i 3π

2
< arg(z) < 2π.

2. (a) (5 bodova) Riješiti sustav

x− y − z = 0
x + y − 3z = 2

2x + 3y − 5z = 7.

(b) (4 boda) Odrediti jednadžbu ravnine koja sadrži pravac x−3
2

= y+4
1

= z−2−3 i paralelna
je s pravcem x+5

4
= y−2

7
= z−1

2
.

3. (a) (6 bodova) Kako definiramo skalarni i vektorski produkt dvaju vektora? Napisati
dva svojstva skalarnog produkta i dva svojstva vektorskog produkta dvaju vektora.

(b) (4 boda) Koliki je kosinus kuta izmedju vektora −→a = 2
−→
i −3

−→
j +

−→
k i

−→
b =

−→
i +

−→
j ?

2. dio

1. (a) (4 boda) Odrediti domenu funkcije

f (x) =


ln

(
x

x + 1

)
.

(b) (5 bodova) Pokazati da funkcija y = eα·arcsin x zadovoljava jednadžbu
(1− x2)y′′ − xy′ − α2y = 0.

2. (6 bodova) Odrediti normalu na krivulju y = x ln x koja je paralelna s pravcem
2x− 2y + 3 = 0.

3. (a) (5 bodova) Kada kažemo da je funkcija parna, a kada da je neparna? Provjeriti
parnost funkcije f(x) = 2x

3+3 sin x−x
x2

.

(b) (5 bodova) Kako definiramo derivaciju funkcije u točki? Primjenom te definicije
odrediti derivaciju funkcije f(x) = cx, ako je c konstanta.

Page 2

130, grupa 2, 140 Završni ispit iz MATEMATIKE 1, 13. veljače 2012.

3. dio

1. (9 bodova) Odrediti domenu, nultočke, asimptote, lokalne ekstreme, intervale monotonosti
i zakrivljenosti, te skicirati graf funkcije

f(x) =
(x− 1)2

(x + 1)3
.

2. (a) (3 boda) Ispitati konvergenciju reda

x−
x3

3 · 3!
+ · · ·+ (−1)n+1

x2n−1

(2n− 1) · (2n− 1)!
+ · · · .

(b) (3 boda) Odrediti

lim
n→∞

(
1− 2 + 3− 4 + · · · − 2n


n2 + 1

)
.

3. (a) (5 bodova) Što je gomilište niza i koja je razlika izmedju gomilišta i limesa niza?

(b) (5 bodova) Odrediti gomilišta nizova an =
(−1)n·n
2n+5

i bn = 1n−(−1)n . Koji je od ta
dva niza konvergentan i zašto?

Page 16

130 - grupa 1 1. kolokvij iz Matematike 1, 2011/12

Ime i prezime

1. 2.(a) 2.(b) 3.(a) 3.(b)


1. (6 bodova) U kompleksnoj ravnini skicirajte skup to£aka z ∈ C koje zado-
voljavaju uvjete

Im
(
z2 + 1

)
≥ 2 (Im z)2 ,

|z + i| < 3.

2. (a) (4 boda) Rije²ite sustav Cramerovim pravilom

2x− 3y + z + 1 = 0
x+ y + z = 6

3x+ y − 2z = −1.

(b) (5 bodova) Zadane su to£keA(4, 3,−2), B(6, 6, 4) i C(10, 5,−5). Pokaºite
da vektori

−→
AB i

−→
AC mogu biti dva brida kocke. Odredite vektor

−−→
AD tako

da
−−→
AD bude brid te kocke.

3. (a) (7 bodova) �to je inverzna matrica? Dokaºite da su slijede¢e tvrdnje
ekvivalentne: detA ̸= 0 i A je regularna matrica.

(b) (3 boda) Za koji x ∈ R je matrica A =
[
2− x 1
3 + x 0

]
regularna?

Rje²enja:

1. {y ≥ 0 ∩ x ≥ y ∩ x2 + (y + 1)2 < 9} ∪ {y < 0 ∩ x ≤ y ∩ x2 + (y + 1)2 < 9}.

(a)


 xy

z


 =


 12

3


.

(b)
∣∣∣−→AB∣∣∣ = ∣∣∣−→AC∣∣∣ = 7, −→AB · −→AC = 0; −−→AD1 = −3−→i + 6−→j − 2−→k , −−→AD2 =
3
−→
i − 6

−→
j + 2

−→
k .

Page 17

130, grupa 1 1. kolokvij iz MATEMATIKE 1, 2013/14.

Ime i prezime:

1 2 3 4 5 Σ

1. (6 bodova) Rije²ite jednadºbu u skupu kompleksnih brojeva

z4 +

(
1 + i

1− i

)43
= −(cos π + i sin π).

2. (6 bodova) Odredite matricu X koja je rje²enje matri£ne jednadºbe

X−1B = C−1 −X−1AC−1, pri £emu je

A =

[
1 2
0 1

]
, B =

[
2 1
3 0

]
i C =

[
0 2
1 4

]
, te odredite X−1.

3. (5 bodova) Na�ite jednadºbu pravca koji prolazi to£kom T (1, 1,−3), a okomit je na
ravninu odre�enu pravcima

p1 . . .
x− 2
−1

=
y − 1
2

=
z − 2
0

i

p2 . . .
x− 5
2

=
y − 2
3

=
z − 3
1

.

4. a) (4 boda) Odredite domenu funkcije

f (x) =


ln

(
x− 3
x2 − 4

)
.

b) (4 boda) Izra£unajte (bez kori²tenja L'Hospitalovog pravila)

lim
x→4

3−

5 + x

1−

5− x

.

5. a) (5 bodova) De�nirajte linearnu nezavisnost vektora i rang matrice. Kako odre�ujemo

rang matrice? Odredite rang matrice
[
−1 2
3 α

]
u ovisnosti o parametru α.

b) (5 bodova) �to je jedini£ni vektor vektora −→a ̸=
−→
0 ? �to su prikloni kutevi vektora

−→a ̸=
−→
0 ? Koliki kut vektor −→a =

−→
i +

−→
k zatvara s koordinatnim osima x i y.

c) (5 bodova) Kako de�niramo slijede¢e vrste funkcija: ome�ena, strogo rastu¢a, pa-
daju¢a, periodi£ka? Navedite po jedan primjer za svaku od tih vrsta funkcija.

Page 31

130, grupa 1 Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1- 1.dio, 11. velja£e 2013.

Rje²enja:

1. z = 1(cos

3
+2kπ

3
+ i sin


3
+2kπ

3
), k = 0, 1, 2.

2. X =

[
−1

3
1

2
3

1

]
.

3. d =


59
14
.

4. Df =

0, 1

e




1
e
,+∞


,vert. asimp. x = 1

e
.

Page 32

130, grupa 2, 140 Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1- 1.dio, 11. velja£e 2013.

Ime i prezime:

1 2 3 4 5 Σ

1. dio

1. (7 bodova) Odredite sve z ∈ C koji zadovoljavaju jednadºbu

2
(
cos

π

4
+ i sin

π

4

)
z3 + (−1− i)7 = 0.

2. (6 bodova) Rije²ite sustav jednadºbi

−2x1 + x2 + 3x4 = −5
3x1 + 2x3 − 2x4 = 1
3x1 + 2x3 + 2x4 = −1
x1 + x2 + 2x3 + x4 = −4

3. (6 bodova) Na�ite jednadºbu ravnine koja sadrºi pravac

p1 . . .
x− 1
2

=
y − 2
1

=
z + 3

3

i okomita je na ravninu
π . . . 2x− 4y + z = 0.

4. (6 bodova) Odredite domenu funkcije

f (x) =
ln (x− 2)

x2 − 3x

+ x.

5. (15 bodova)

(a) Napi²ite dva razli£ita oblika za jednadºbu pravca u prostoru R3, te objasnite zna£enje
oznaka koje upotrijebite u tim jednadºbama.

(b) Kako de�niramo limes funkcije? Kako de�niramo neprekidnost? Opi²ite vrste
prekida.

Rje²enja:

1. z = 2(cos

2
+2kπ

3
+ i sin


2
+2kπ

3
), k = 0, 1, 2.

2.




x1
x2
x3
x4


 =




1
1
2

−3
2

0


 t +




0
−7

2

0
−1

2


 .

3. π...− 13x− 4y + 10z + 51 = 0.

4. Df = ⟨3,+∞⟩.

Similer Documents